Och wann d'Kurve d'selwecht ausgesäit, wat ass den Ënnerscheed tëscht der Cauchy a Gaussescher Verdeelung?


beäntweren 1:

E Cauchy gesäit net wéi eng normal aus. Wéi e Cauchy ausgesäit hänkt vun de Parameteren of déi Dir benotzt, awer et gesäit net normal aus.

z.B.

set.seed (1234) # Setzt eng zoufälleg Zuel Startwäert x1 <- rcauchy (1000, 0, 1) x2 <- rnorm (1000, mëttler (x1), sd (x1)) Diagramm (Dicht (x1)) Diagramm (Dicht (x2))

Gesäit guer net d'selwecht. An x1 reicht vun -178 bis 702, während x2 rangéiert vun -76 bis 71.


beäntweren 2:

Wéi Dir kënnt gesinn, kucken déi zwou Kéiren ähnlech aus, datt se allebéid een eenzege "Bump" hunn a sech méi wäit verbreet. Si ënnerscheede sech datt de Cauchy e méi enken Héichpunkt huet a méi lues verdeelt - et ass vill méi wahrscheinlech Wäerter ze kréien déi wäit vum Peak sinn am Verglach zu der normaler Verdeelung. Mathematesch féiert dësen Ënnerscheed zu ville verschiddene Konsequenzen - sou datt de Cauchy kee präzis definéiert Mëttel an eng komesch Probeverdeelung huet, fir déi de "Gesetz vu groussen Zuelen" net gëlt.


beäntweren 3:

Och wann d'Kurve d'selwecht ausgesäit, wat ass den Ënnerscheed tëscht der Cauchy a Gaussescher Verdeelung?

Op der Uewerfläch si se ähnlech aus. Awer mir weisen en Diagramm vun der Dichtfunktioun vun enger Verdeelung a sot mir, datt et entweder Cauchy oder Gauss ass, ech géif wësse wat (unzehuelen datt et wierklech ee vun hinnen war). De Cauchy huet vill méi laang Schwanz.

Wa mir eng Verdeelungsfamill mat onbekannte Parameteren hunn, da schätze mir dës Parameteren.

  • D'Gaussian Verdeelung huet zwee Parameteren, déi mëttel an de Standarddeviatioun. Mir kënnen amplaz aner Parameteren benotzen, zum Beispill de Median (wat der Moyenne entsprécht) an d'Halle-interquartile Gamme (wat ongeféier ass)
  • 0.67450.6745
  • mol de Standarddeviatioun). D'Moyenne vun der Cauchy Verdeelung gëtt et net, awer d'Median ass den Zentrum vun der Symmetrie. De Standarddeviatioun existéiert och net, awer d'Moyenne vun de quadrateschen Ofwäichunge vum Median ass onendlech.

Also dat ass den Haaptunterschied. Mir kënnen d'Parameter vu béid Distributiounen als déi median an semi-interquartile Gamme berücksichtegen, awer mir kënnen net déi mëttel an Standarddeviatioun fir de Cauchy benotzen well se net existéieren.

Wa mir eng Probe maache fir d'Parameter vun enger Verdeelung ze schätzen, berechnen mir Statistike wéi d'Moyenne an d'Standarddeviatioun vun de Probe Wäerter. Dës Statistiken hunn Distributiounen. D'Verdeelung vun enger Probe Statistik gëtt eng Probeverdeelung genannt.

  • Wann d'Verdeelung vun der Bevëlkerung Gauss ass (d'Monsterverdeelung vu), ass d'Probe-Moyen och Gauss an huet e vill méi klenge Standarddeviatioun, sou datt e grousse Probe méi korrekt Schätzunge gëtt wéi just eng Observatioun. Wann d'Verdeelung Cauchy ass, huet d'Probe-Mëttel och eng Cauchy Verdeelung, awer genau d'selwescht Median an hallef-interquartil Gamme wéi déi originell Verdeelung. Et gëtt kee Virdeel fir d'Moyenen vun enger Probe ze huelen.

Also dat ass en aneren Ënnerscheed. D'Moyenne vun enger Probe aus Gaussesch ass nëtzlech fir d'Moyenne (oder Median) ze schätzen; D'Moyenne vun enger Probe fir de Cauchy ass nëtzlos fir d'Median ze schätzen. Et ass besser de Probe Median ze benotzen, wat méi präzis Schätzunge gëtt.

Ähnlech Argumenter gëllen fir d'Ausschätzung vun der Streuung (awer Dir definéiert et) vun enger vun den zwou Verdeelungen. Déi üblech Schätzunge fir eng Gaussesch Verdeelung funktionnéieren net fir eng Cauchy Verdeelung.

De reellen Ënnerscheed läit an der mathematescher Formel fir Dicht. An der Standardform ass d'Gaussesch Dicht

12πe12z2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12z^2}

an de Cauchy huet Dicht

1π(1+z2)\frac1{\pi(1+z^2)}

An.

Notiz datt déi zwee

zz

s sinn anescht. Am éischte Fall ass de Standard deviation

11

am zweete Fall, den ieweschte Quartil

11

An.

D'Verdeelungsfunktioun (d'Wahrscheinlechkeet dat

ZzZ\le z

) huet keng richteg zougemaach Form fir d'Gaussesch Verdeelung, awer fir de Cauchy

1πtan1(z)\frac1{\pi}\tan^{-1}(z)

An.

Wann Dir d'Verdeelunge op déiselwecht Axen graféiere wëllt fir den Ënnerscheed ze gesinn, sollt Dir d'Parameter upassen. Also ech géif d'Gaussesch standardiséieren sou datt déi ënnescht an iewescht Quartiler sinn

0.6745-0.6745

an

0.67450.6745

dh maacht de Standarddeviatioun datselwecht

1.48261.4826

a benotzen d'Standardform fir de Cauchy. D'Gebidder ënner dem Diagrammer solle déiselwecht sinn, sou datt d'Héichten an der Mëtt entspriechend skaléiert sollten (

0.2690.269

fir d'Gaussesch an

0.3180.318

fir de Cauchy - de Cauchy ass méi grouss an der Mëtt a méi héich an de Schwänz).